什麼是皮卡迭代法
Ⅰ 皮卡的逐次迭代法和皮卡逐步逼近法是不是一個東西
這兩個應該不是一個東西,初次畢竟的話,可能更接近於極限的方式了。
Ⅱ 不動點定理的應用:積分方程和微分方程
上一節學習了一個基礎的不動點定理,在巴拿赫空間中,閉集上的收縮運算元存在唯一的不動點。
現在考慮其應用:
積分方程,對於中文互聯坦知網上不多見,搜索不到多少東西。不過積分方程在數學物理中具有很高的價值,通常而言的本徵值問題,最初就是從積分方程中得出的,可以了解一下柯朗,希爾伯特的數學物理方法一書,可以說是開山之作了,裡面就專門介紹了線性積分方程理論。不過,這本書時代過於久遠,所以看上去很不習慣,很多概念都過時了。看這本書其實也是為了以現代語言學習積分方程。
積分方程 ,本身可以視為一個運算元 ,於是可以化為不動點問題 。
接下來只要證明這個運算元A滿足定理條件即可,這就需要對參數值 和函數 添加一定的限制,這些限制條件是為了滿足定理條件而引入的,所以可由證明中得出,這里就不寫了。
於是,對於特定的情況下,這個不動點問題有唯一解,可以進行迭代求解。這就是積分方程的迭代法求解的原理。
對於微分方程,採用了取巧的方式,任意的一階微分方程總可化為積分方程
這樣只要證明積分方程有解,那微分方程自然有解。而且可以進行迭代求解,這種迭代法的收斂性由一個定理給出。自然,對於這種微分方程也是有條件限制的。這就與微分方程的適定性理論聯系起來了。著名的皮卡定理。
巴拿赫不動點,核心就是一個壓縮映射,因為巴拿赫空間一般是滿足的,常用的就是閉區間上的連續函數空間,不管是一元的還是讓粗消多元的沒有什麼太大區別。所以,只要能證明一凳和個運算元是收縮的,問題就自然獲得了解決。這種普遍性,使得不動點定理在非線性泛函分析中也能發揮巨大作用。就比如上面的運算元方程的例子,並沒有限定運算元必須是線性的。
Ⅲ 皮卡迭代法求初值問題
將微分方程轉化為積分方程,初始用初值迭代一次得到Y1,以其為下一次迭代初值,依次迭代。
如果想得到最終的解,你需要得到迭代n次的形式再取極限。事實上這是壓縮映像原理的應用,但是這個解有存在區間,這種方法得到的解並不一定是全空間的解。當然你要是想獲得近似解,按經驗來說取初值迭代三到四次應該就夠了。
迭代法的主要研究課題是對所論問題構造收斂的迭代格式,分析它們的收斂速度及收斂范圍。
迭代法的收斂性定理可分成下列三類:
①局部收斂性定理:假設問題解存在,斷定當初始近似與解充分接近時迭代法收斂。
②半局部收斂性定理:在不假定解存在的情況下,根據迭代法在初始近似處滿足的條件,斷定迭代法收斂於問題的解。
③大范圍收斂性定理:在不假定初始近似與解充分接近的條件下,斷定迭代法收斂於問題的解。
迭代法在線性和非線性方程組求解,最優化計算及特徵值計算等問題中被廣泛應用。