什么是皮卡迭代法

Ⅰ 皮卡的逐次迭代法和皮卡逐步逼近法是不是一个东西

这两个应该不是一个东西，初次毕竟的话，可能更接近于极限的方式了。

Ⅱ 不动点定理的应用：积分方程和微分方程

上一节学习了一个基础的不动点定理，在巴拿赫空间中，闭集上的收缩算子存在唯一的不动点。

现在考虑其应用：

积分方程，对于中文互联坦知网上不多见，搜索不到多少东西。不过积分方程在数学物理中具有很高的价值，通常而言的本征值问题，最初就是从积分方程中得出的，可以了解一下柯朗，希尔伯特的数学物理方法一书，可以说是开山之作了，里面就专门介绍了线性积分方程理论。不过，这本书时代过于久远，所以看上去很不习惯，很多概念都过时了。看这本书其实也是为了以现代语言学习积分方程。

积分方程 ，本身可以视为一个算子 ，于是可以化为不动点问题 。

接下来只要证明这个算子A满足定理条件即可，这就需要对参数值 和函数 添加一定的限制，这些限制条件是为了满足定理条件而引入的，所以可由证明中得出，这里就不写了。

于是，对于特定的情况下，这个不动点问题有唯一解，可以进行迭代求解。这就是积分方程的迭代法求解的原理。

对于微分方程，采用了取巧的方式，任意的一阶微分方程总可化为积分方程

这样只要证明积分方程有解，那微分方程自然有解。而且可以进行迭代求解，这种迭代法的收敛性由一个定理给出。自然，对于这种微分方程也是有条件限制的。这就与微分方程的适定性理论联系起来了。著名的皮卡定理。

巴拿赫不动点，核心就是一个压缩映射，因为巴拿赫空间一般是满足的，常用的就是闭区间上的连续函数空间，不管是一元的还是让粗消多元的没有什么太大区别。所以，只要能证明一凳和个算子是收缩的，问题就自然获得了解决。这种普遍性，使得不动点定理在非线性泛函分析中也能发挥巨大作用。就比如上面的算子方程的例子，并没有限定算子必须是线性的。

Ⅲ 皮卡迭代法求初值问题

将微分方程转化为积分方程，初始用初值迭代一次得到Y1，以其为下一次迭代初值，依次迭代。

如果想得到最终的解，你需要得到迭代n次的形式再取极限。事实上这是压缩映像原理的应用，但是这个解有存在区间，这种方法得到的解并不一定是全空间的解。当然你要是想获得近似解，按经验来说取初值迭代三到四次应该就够了。

迭代法的主要研究课题是对所论问题构造收敛的迭代格式，分析它们的收敛速度及收敛范围。

迭代法的收敛性定理可分成下列三类：

①局部收敛性定理：假设问题解存在，断定当初始近似与解充分接近时迭代法收敛。

②半局部收敛性定理：在不假定解存在的情况下，根据迭代法在初始近似处满足的条件，断定迭代法收敛于问题的解。

③大范围收敛性定理：在不假定初始近似与解充分接近的条件下，断定迭代法收敛于问题的解。

迭代法在线性和非线性方程组求解，最优化计算及特征值计算等问题中被广泛应用。